在数学上，韦达定理是一个公式 (英语：Vieta's formulas)，给出多项式方程的根与系数的关系，因而又被代称为根与系数。该定理由法国数学家弗朗索瓦·韦达发现，并因此得名。韦达定理常用于代数领域。
韦达定理的实用之处在于，它提供一个不用直接把根解出来的方法来计算根之间的关系。
目录
1 叙述
2 证明
3 特例
3.1 n=2
3.2 n=3
4 推广至环
5 历史
6 参考资料
7 参见
叙述
设
P
(
x
)
=
a
n
x
n
+
a
n
−
1
x
n
−
1
+
⋯
+
a
1
x
+
a
0
{\displaystyle P(x)=a_{n}x^{n}+a_{n-1}x^{n-1}+\cdots +a_{1}x+a_{0}}
是一个一元 n 次实(或复)系数多项式，首项系数
a
n
≠
0
{\displaystyle a_{n}\neq 0}
，令 P 的 n 个根为
x
1
,
x
2
,
…
,
x
n
{\displaystyle x_{1},x_{2},\dots ,x_{n}}
，则根
{
x
i
}
{\displaystyle \{x_{i}\}}
和系数
{
a
j
}
{\displaystyle \{a_{j}\}}
之间满足关系式
{
x
1
+
x
2
+
⋯
+
x
n
−
1
+
x
n
=
−
a
n
−
1
a
n
(
x
1
x
2
+
x
1
x
3
+
⋯
+
x
1
x
n
)
+
(
x
2
x
3
+
x
2
x
4
+
⋯
+
x
2
x
n
)
+
⋯
+
x
n
−
1
x
n
=
a
n
−
2
a
n
⋮
x
1
x
2
…
x
n
=
(
−
1
)
n
a
0
a
n
{\displaystyle {\begin{cases}x_{1}+x_{2}+\dots +x_{n-1}+x_{n}=-{\dfrac {a_{n-1}}{a_{n}}}\\(x_{1}x_{2}+x_{1}x_{3}+\cdots +x_{1}x_{n})+(x_{2}x_{3}+x_{2}x_{4}+\cdots +x_{2}x_{n})+\cdots +x_{n-1}x_{n}={\dfrac {a_{n-2}}{a_{n}}}\\{}\quad \vdots \\x_{1}x_{2}\dots x_{n}=(-1)^{n}{\dfrac {a_{0}}{a_{n}}}\end{cases}}}
等价的说，对任何 k = 1, 2, ..., n，系数比
a
n
−
k
a
n
{\displaystyle {\frac {a_{n-k}}{a_{n}}}}
是所有任取 k 个根的乘积的和的
(
−
1
)
k
{\displaystyle (-1)^{k}}
倍，即
∑
1
≤
i
1
<
i
2
<
⋯
<
i
k
≤
n
x
i
1
x
i
2
⋯
x
i
k
=
(
−
1
)
k
a
n
−
k
a
n
{\displaystyle \sum _{1\leq i_{1} 其中 i 1 < i 2 < ⋯ < i k {\displaystyle i_{1} 是要让所有的根的组合都恰好出现一次。 事实上，等号的左边被称作是初等对称多项式。 证明 因为 x 1 , x 2 , … , x n {\displaystyle x_{1},x_{2},\dots ,x_{n}} 是一元 n 次多项式 M ( x ) = a n x n + a n − 1 x n − 1 + ⋯ + a 1 x + a 0 {\displaystyle M(x)=a_{n}x^{n}+a_{n-1}x^{n-1}+\cdots +a_{1}x+a_{0}} 的 n 个根。于是有 a n x n + a n − 1 x n − 1 + ⋯ + a 1 x + a 0 = a n ( x − x 1 ) ( x − x 2 ) ⋯ ( x − x n ) {\displaystyle a_{n}x^{n}+a_{n-1}x^{n-1}+\cdots +a_{1}x+a_{0}=a_{n}(x-x_{1})(x-x_{2})\cdots (x-x_{n})} 根据乘法原理展开右式，比较等号两边的各项系数可得 { a n − 1 = − a n ( x 1 + x 2 + ⋯ + x n − 1 + x n ) a n − 2 = a n ( ( x 1 x 2 + x 1 x 3 + ⋯ + x 1 x n ) + ( x 2 x 3 + x 2 x 4 + ⋯ + x 2 x n ) + ⋯ + x n − 1 x n ) ⋮ a 0 = ( − 1 ) n a n x 1 x 2 … x n {\displaystyle {\begin{cases}a_{n-1}=-a_{n}(x_{1}+x_{2}+\dots +x_{n-1}+x_{n})\\a_{n-2}=a_{n}\left((x_{1}x_{2}+x_{1}x_{3}+\cdots +x_{1}x_{n})+(x_{2}x_{3}+x_{2}x_{4}+\cdots +x_{2}x_{n})+\cdots +x_{n-1}x_{n}\right)\\{}\quad \vdots \\a_{0}=(-1)^{n}a_{n}x_{1}x_{2}\dots x_{n}\end{cases}}} 上式等同于韦达定理的叙述。 特例 n=2 设 x 1 , x 2 {\displaystyle x_{1},x_{2}} 是一元二次多项式 a x 2 + b x + c {\displaystyle ax^{2}+bx+c} 的两根，则由 a x 2 + b x + c = a ( x − x 1 ) ( x − x 2 ) = a x 2 − a ( x 1 + x 2 ) x + a x 1 x 2 {\displaystyle ax^{2}+bx+c=a(x-x_{1})(x-x_{2})=ax^{2}-a(x_{1}+x_{2})x+ax_{1}x_{2}} 有 x 1 + x 2 = − b a , x 1 x 2 = c a {\displaystyle x_{1}+x_{2}=-{\frac {b}{a}},\quad x_{1}x_{2}={\frac {c}{a}}} 这个特殊情况除之前提到的证明方法，也可以直接用解公式即 x 1 = − b + b 2 − 4 a c 2 a {\displaystyle x_{1}={\frac {-b+{\sqrt {b^{2}-4ac}}}{2a}}} ， x 2 = − b − b 2 − 4 a c 2 a {\displaystyle x_{2}={\frac {-b-{\sqrt {b^{2}-4ac}}}{2a}}} 证明： x 1 + x 2 = − b + b 2 − 4 a c + ( − b ) − b 2 − 4 a c 2 a = − b a {\displaystyle x_{1}+x_{2}={\frac {-b+{\sqrt {b^{2}-4ac}}+\left(-b\right)-{\sqrt {b^{2}-4ac}}}{2a}}=-{\frac {b}{a}}} x 1 x 2 = ( − b + b 2 − 4 a c ) ( − b − b 2 − 4 a c ) ( 2 a ) 2 = c a {\displaystyle x_{1}x_{2}={\frac {\left(-b+{\sqrt {b^{2}-4ac}}\right)\left(-b-{\sqrt {b^{2}-4ac}}\right)}{\left(2a\right)^{2}}}={\frac {c}{a}}} 在这个情况下，韦达定理的逆定理同样成立：给定一个一元二次多项式 a x 2 + b x + c {\displaystyle ax^{2}+bx+c} ，如果有两个数 x 1 , x 2 {\displaystyle x_{1},x_{2}} ，满足 x 1 + x 2 = − b a {\displaystyle x_{1}+x_{2}=-{\frac {b}{a}}} 和 x 1 x 2 = c a {\displaystyle \quad x_{1}x_{2}={\frac {c}{a}}} ，则 x 1 , x 2 {\displaystyle x_{1},x_{2}} 就是多项式 a x 2 + b x + c {\displaystyle ax^{2}+bx+c} 的两根。 n=3 设 x 1 , x 2 , x 3 {\displaystyle x_{1},x_{2},x_{3}} 是一元三次多项式 a x 3 + b x 2 + c x + d {\displaystyle ax^{3}+bx^{2}+cx+d} 的三根，则 x 1 + x 2 + x 3 = − b a , x 1 x 2 + x 1 x 3 + x 2 x 3 = c a , x 1 x 2 x 3 = − d a {\displaystyle x_{1}+x_{2}+x_{3}=-{\frac {b}{a}},\quad x_{1}x_{2}+x_{1}x_{3}+x_{2}x_{3}={\frac {c}{a}},\quad x_{1}x_{2}x_{3}=-{\frac {d}{a}}} 推广至环 韦达定理经常使用在讨论整环 R 上多项式，换言之多项式系数都落在 R 上。此时，分数 a i a n {\displaystyle {\frac {a_{i}}{a_{n}}}} 在 R 中不见得有定义，除非 a n {\displaystyle a_{n}} 本身是可逆元。但 a i a n {\displaystyle {\frac {a_{i}}{a_{n}}}} 在 R 的分式环 K 中有定义，而根 x 1 , x 2 , … , x n {\displaystyle x_{1},x_{2},\dots ,x_{n}} 则在 K 的代数闭包 K ¯ {\displaystyle {\bar {K}}} 中有定义。特别的，如果 R 是整数环 Z {\displaystyle \mathbb {Z} } ，则 K 是有理数域 Q {\displaystyle \mathbb {Q} } ， K ¯ {\displaystyle {\bar {K}}} 是复数域 C {\displaystyle \mathbb {C} } 。 如果多项式 P(x) 定义在一般非整环的交换环上，则韦达定理可能在两个地方出错。第一， a n {\displaystyle a_{n}} 可能不是零因子，因此不能出现在分母。第二 P(x) 可能不等于 a n ( x − x 1 ) ( x − x 2 ) ⋯ ( x − x n ) {\displaystyle a_{n}(x-x_{1})(x-x_{2})\cdots (x-x_{n})} 。第一点算是显而易见，以下给出一个第二点的例子。在环 Z / 8 Z {\displaystyle \mathbb {Z} /8\mathbb {Z} } 中，多项式 P ( x ) = x 2 − 1 {\displaystyle P(x)=x^{2}-1} 有四个根 1、3、5、7，根数比多项式的次数还多。此外，如果随便取两根出来，例如 x 1 = 1 {\displaystyle x_{1}=1} ， x 2 = 3 {\displaystyle x_{2}=3} ，会发现 P ( x ) ≠ ( x − 1 ) ( x − 3 ) {\displaystyle P(x)\neq (x-1)(x-3)} ，但是有时候如果根取的刚好，却又可能会有 P ( x ) = ( x − 1 ) ( x − 7 ) {\displaystyle P(x)=(x-1)(x-7)} 和 P ( x ) = ( x − 3 ) ( x − 5 ) {\displaystyle P(x)=(x-3)(x-5)} 。 历史 在 16 世纪，韦达发现了所有根都是正整数的版本，至于一般的版本 (根是实数)，可能首次由法国数学家 Albert Girard（英语：Albert Girard） 提出。Funkhouser 引用了18 世纪英国数学家查尔斯·赫顿（英语：Charles Hutton）的话写道[1] ...[Girard 是] 理解关于各次方项系数的和与积公式的一般性学说的第一人。他是找到关于将任意方程式的根的次方加总的规则的第一人。 参考资料 ^ （Funkhouser 1930） Hazewinkel, Michiel (编), Viète theorem, 数学百科全书, Springer, 2001, ISBN 978-1-55608-010-4 Funkhouser, H. Gray, A short account of the history of symmetric functions of roots of equations, American Mathematical Monthly (Mathematical Association of America), 1930, 37 (7): 357–365, JSTOR 2299273, doi:10.2307/2299273 Vinberg, E. B., A course in algebra, American Mathematical Society, Providence, R.I, 2003, ISBN 0-8218-3413-4 Djukić, Dušan; et al, The IMO compendium: a collection of problems suggested for the International Mathematical Olympiads, 1959–2004, Springer, New York, NY, 2006, ISBN 0-387-24299-6 参见 法兰西斯·韦达 对称多项式 韦达跳跃 天元术
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